Question

如图，AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．
（1）求证：BF∥CE；
（2）若AB=2，DE=5，求BF的长．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB=BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；
（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．

解答：（1）证明：如图，延长AB交CE于G，
∵AB=BC，DC=DE，∠ABC=∠CDE=90°，
∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，
∴△ACG也是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AG，
∴AB=BG，
∵点F是AE的中点，
∴BF是△AGE的中位线，
∴BF∥CE；

（2）解：∵AB=2，DE=5，
∴CG=AC=

2

AB=2

2

，
CE=

2

DE=5

2

，
∴GE=CE-CG=5

2

-2

2

=3

2

，
∵BF是△AGE的中位线，
∴BF=

1

2

GE=

3 2

2

．

点评：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF为中位线的三角形是解题的关键．