Question

【题目】已知△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，CD为AB边上的高．动点P从点A出发，沿着△ABC的三条边逆时针走一圈回到A点，速度为2cm/s，设运动时间为t s．

（1）求CD的长；

（2）t为何值时，△ACP是等腰三角形？

（3）若M为BC上一动点，N为AB上一动点，是否存在M，N使得AM+MN 的值最小？如果有,请直接写出最小值，如果没有，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1) CD=4.8cm；(2) t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形；（3）AM+MN的最小值=9.6．

【解析】

（1）根据勾股定理的逆定理得到∠ACB=90°，然后由三角形的面积公式得到等积式，即可得到结果；

（2）①当点P在BC上时，求得t==6s，②当点P在AB上时，分三种情况：当AC=AP时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，求得t=9，当AC=CP=6时，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，求得t=8.4，当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，求得t=9.5；

（3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，′则A′N就是AM+MN的最小值，根据三角形的中位线即可得到结论．

（1）∵AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°．

∵CD为AB边上的高，∴ACBC=ABCD，∴CD=4.8cm；

（2）①当点P在BC上时．

∵∠ACB=90°，若△ACP为等腰三角形，只有AC=PC=6，∴t==6s；

②当点P在AB上时．

∵△ACP为等腰三角形，∴分三种情况：当AC=AP时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=6，解得：t=9，当AC=CP=6时，即[10﹣（2t﹣6﹣8）]=，解得：t=8.4，当AP=CP=10﹣（2t﹣6﹣8）时，即10﹣（2t﹣6﹣8）=5，解得：t=9.5．

综上所述：t为6，8.4，9，9.5时，△ACP为等腰三角形；

（3）如图作点A关于BC的对称点A′，过A′作A′N⊥AB于N，交BC于M，则A′N就是AM+MN的最小值．

∵CD⊥AB，∴CD∥A′N．

∵AC=CA′，∴AD=DN，∴A′N=2CD=9.6，即AM+MN的最小值=9.6．