Question

【题目】如图，菱形ABCD的边长是6，∠A＝60°，E是AD的中点，F是AB边上一个动点，EG＝EF且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值是_____

Answer 1

【答案】

【解析】

连接BD，由菱形的性质得到AB＝AD，推出△ABD是等边三角形，得到BE⊥AD，取AB与CD的中点M，N，连接MN，点B关于MN的对称点是E，连接EC，此时CE的长就是GB+GC的最小值；求得HM＝1.5，解直角三角形即可得到结论．

解：连接BD

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，

∵∠A＝60°，

∴△ABD是等边三角形，

∵E是AD的中点，

∴BE⊥AD，

取AB与CD的中点M，N，连接MN，

∴点B关于MN的对称点是E，连接EC，

此时CE的长就是GB+GC的最小值；

∵MN∥AD，

∴HM＝AE，

∵HB⊥HM，AB＝6，∠A＝60°，

∴MB＝3，∠HMB＝60°，

∴HM＝1.5，

∴AE＝3，

∵∠AEB＝∠MHB＝90°，

∴∠CBE＝90°，

在Rt△EBC中，EB＝3，BC＝6，

∴EC＝3，

故答案为3．