Question

17．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，点O为AB的中点，连接CO．点M在CA边上，从点C以1cm/秒的速度沿CA向点A运动，设运动时间为t秒．
（1）当∠AMO=∠AOM时，求t的值；
（2）当△COM是等腰三角形时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理求出AB，由直角三角形的性质得出AO=5，求出AM=5，得出CM=3即可；
（2）分三种情况讨论，分别求出t的值即可．

解答 （1）∵AC=8，BC=6，∠ACB=90°，
∴AB=$\sqrt{B{C}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
∵O为AB中点，
∴AO=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵AO=AM，
∴AM=5，
∴CM=3，
∴t=3；
（2）①当CO=CM时，CM=5，
∴t=5
②当MC=MO时，t²=3²+（4-t）²，
解得：t=$\frac{25}{8}$；
③当CO=OM时，M与A点重合，
∴t=8；
综上所述，当△COM是等腰三角形时，t的值为5或$\frac{25}{8}$或81．

点评 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质；熟练掌握勾股定理和等腰三角形的性质，注意分情况讨论．