Question

【题目】如图，直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，经过B，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）请问在抛物线上是否存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过S（0，4）的动直线l交抛物线于M，N两点，试问抛物线上是否存在定点T，使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°？若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）存在；（3）存在点T（4，3）使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°．

【解析】试题分析：(1)根据坐标轴上点的坐标特征可求,,再根据待定系数法可求抛物线的函数表达式;

(2)存在,分三种情况:过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b,过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3,以BC为斜边,进行讨论可求点Q的坐标;

(3)设M(x1,y1), N(x2,y2), T(a,b),过T作PQ∥x轴,过M,N作MP⊥PQ于P,NQ⊥PQ于Q,可证△MPT∽TQN,根据相似三角形的性质求解.

解：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴，y轴分别相交于点B，C，

∴B（3，0），C（0，3），

∵对称轴为直线x=2，

∴设该抛物线的函数表达式为y=a（x﹣1）（x﹣3），

把C（0，3）代入得3a=3，解得a=1，

∴该抛物线的函数表达式y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3；

（2）存在，设过B点垂直BC的直线的解析式为y=x+b，

把B（3，0）代入得b=﹣3，

则直线的解析式为y=x﹣3，

依题意有，

解得，，

∴Q1（2，﹣1），

过C点垂直BC的直线解析式为y=x+3，

依题意有，

解得，，

∴Q2（5，8），

以BC为斜边，设β（a，a2﹣4a+3），则

a2+（a2﹣4a）2+（a﹣3）2+（a2﹣4a+3）2=18，

a3﹣8a2+20a﹣15=0，

（a﹣3）（a2﹣5a+5）=0，

解得a1=3，a2=，

∴Q3（，），Q4（，），

∴存在点Q，使得以点B，C，Q为顶点的三角形为直角三角形；

（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），T（a，b），

过T作PQ∥x轴，过M，N作MP⊥PQ于P，NQ⊥PQ于Q，则∠MTN=90°，

则△MPT∽△TQN，

∴，

a（x1+x2）﹣a2﹣x1x2=y1y2﹣b（y1+y2）+b2，

其中x1，x2，y1，y2是的解，

∴x2﹣（4+k）x﹣1=0，

x1x2=﹣1，

x1+x2=k+4，

y1y2=k2x1x2+4k（x1+x2）+16=﹣k2+4k（k+4）+16，

y1+y2=k（k+4）+8，

1+a（k+4）﹣a2=﹣k2+4k（k+4）+16﹣b（k2+4k+8）+b2，

1+ak+4a﹣a2=﹣k3+4k2+16k+16﹣bk2﹣4bk﹣8b+b2，

∴（3﹣b）k2+（16﹣4b﹣a）k+a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

∵y=kx+b有无数条，

∴k为任何实数，3﹣b=0，16﹣4b﹣a=0，a2﹣4a﹣8b+b2+15=0，

解得a=4，b=3，

存在点T（4，3）使得不过定点T的任意直线l都有∠MTN=90°．