Question

15．已知△ABC是等边三角形，边长为a，高为h
（1）如图（1）D是线段BC（不包括B、C点）上任一点，过D做DE⊥AB，DF⊥AC，并设DE=x，DF=y，请写出x、y、h的数量关系，并证明．
（2）如图（2）D是△ABC内任一点，过D做DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，并设DE=x，DF=y，DM=z，请写出x、y、z、h的数量关系，并证明．
（3）如图（3）D是△ABC外一点，过D做DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，并设DE=x，DF=y，DM=z，请直接写出x、y、z、h的数量关系，不要求证明．

Answer 1

分析 （1）先连接AD，则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，再根据△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，DE⊥AB，DF⊥AC，DE=x，DF=y，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，进而得出h=x+y；
（2）先连接AD，BD，CD，则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD，再根据△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，进而得到h=x+y+z；
（3）先连接AD，BD，CD，则S_△ABC=S_{四边形ABDC}-S_△BCD=S_△ABD+S_△ACD-S_△BCD，再根据△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，列出等式$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，即可得到h=x+y-z．

解答 解：（1）x、y、h的数量关系：h=x+y．
证明：如图1，连接AD，则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD，
∵△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=x，DF=y，
∴S_△ABD+S_△ACD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay，
∴h=x+y；

（2）x、y、z、h的数量关系：h=x+y+z．
证明：如图2，连接AD，BD，CD，则S_△ABC=S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD，
∵△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，
∴S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay+$\frac{1}{2}$az，
∴h=x+y+z；

（3）x、y、z、h的数量关系：h=x+y-z．
理由：如图3，连接AD，BD，CD，则S_△ABC=S_{四边形ABDC}-S_△BCD=S_△ABD+S_△ACD-S_△BCD，
∵△ABC是等边三角形，边长为a，高为h，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$ah，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DM⊥BC，DE=x，DF=y，DM=z，
∴S_△ABD+S_△ACD+S_△BCD=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，
∴$\frac{1}{2}$ah=$\frac{1}{2}$ax+$\frac{1}{2}$ay-$\frac{1}{2}$az，
∴h=x+y-z．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了面积法的运用，三角形面积计算公式以及等边三角形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造三角形，根据三角形之间的面积关系列出等式进行化简变形．