Question

在三角形ABC中，点O是AC边上一个动点，过点O作MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD平分线于点E．
（1）求证：OE=OF．
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵CE平分∠ACB，
∴∠1=∠2，
又∵MN∥BC，
∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，
∴EO=CO，
同理，FO=CO，
∴EO=FO；

（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
理由如下：
∵EO=FO，点O是AC的中点．
∴四边形AECF是平行四边形，
∵CF平分∠BCA的外角，
∴∠4=∠5，
又∵∠1=∠2，
∴∠2+∠4=

1

2

×180°=90°．
即∠ECF=90度，
∴四边形AECF是矩形．