Question

10．如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．
（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求$\frac{AM}{NE}$的值；
（3）在（2）的条件下，若$\frac{AF}{AB}$=k（k为大于$\sqrt{2}$的常数），直接用含k的代数式表示$\frac{AM}{MF}$的值．

Answer 1

分析 （1）证法一，利用菱形性质得AB=CD，AB∥CD，利用平行四边形的性质得AB=EF，AB∥EF，则CD=EF，CD∥EF，再根据平行线的性质得∠CDM=∠FEM，则可根据“AAS”判断△CDM≌△FEM，所以DM=EM；
证法二，利用菱形性质得DH=BH，利用平行四边形的性质得AF∥BE，再根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DM}{EM}$=1，所以DM=EM；
（2）由△CDM≌△FEM得到CM=FM，设AD=a，CM=b，则FM=b，EF=AB=a，再证明四边形ABCD为正方形得到AC=$\sqrt{2}$a，接着证明△ANF为等腰直角三角形得到NF=a+$\sqrt{2}$b，则NE=NF+EF=2a+$\sqrt{2}$b，然后计算$\frac{AM}{NE}$的值；
（4）利用$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a+2b}{a}$=k得到$\frac{a}{b}$=$\frac{2}{k-\sqrt{2}}$，则$\frac{AM}{FM}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{b}$=$\sqrt{2}$•$\frac{a}{b}$+1=$\frac{k+\sqrt{2}}{k-\sqrt{2}}$．

解答 解：（1）如图1，
证法一：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AB=EF，AB∥EF，
∴CD=EF，CD∥EF，
∴∠CDM=∠FEM，
在△CDM和△FEM中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CMD=∠FME}\\{∠CDM=∠FEM}\\{CD=EF}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△FEM，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
证法二：∵四边形ABCD为菱形，
∴DH=BH，
∵四边形ABEF为平行四边形，
∴AF∥BE，
∵HM∥BE，
∴$\frac{DH}{BH}$=$\frac{DM}{EM}$=1，
∴DM=EM，
即点M是DE的中点；
（2）∵△CDM≌△FEM，
∴CM=FM，
设AD=a，CM=b，
∵∠ABE=135°，
∴∠BAF=45°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠NAF=45°，
∴四边形ABCD为正方形，
∴AC=$\sqrt{2}$AD=$\sqrt{2}$a，
∵AB∥EF，
∴∠AFN=∠BAF=45°，
∴△ANF为等腰直角三角形，
∴NF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{2}$a+b+b）=a+$\sqrt{2}$b，
∴NE=NF+EF=a+$\sqrt{2}$b+a=2a+$\sqrt{2}$b，
∴$\frac{AM}{NE}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{2a+\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{\sqrt{2}（\sqrt{2}a+b）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（4）∵$\frac{AF}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}a+2b}{a}$=$\sqrt{2}$+2•$\frac{b}{a}$=k，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$（k-$\sqrt{2}$），
∴$\frac{a}{b}$=$\frac{2}{k-\sqrt{2}}$，
∴$\frac{AM}{FM}$=$\frac{\sqrt{2}a+b}{b}$=$\sqrt{2}$•$\frac{a}{b}$+1=$\sqrt{2}$•$\frac{2}{k-\sqrt{2}}$+1=$\frac{k+\sqrt{2}}{k-\sqrt{2}}$．

点评 本题考查了相似形的综合题：熟练掌握平行线分线段成比例定理、平行四边形和菱形的性质；灵活利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；会利用代数法表示线段之间的关系．