Question

【题目】（1）在△ABC中，∠BAC=60°，BC=4，则△ABC面积的最大值是 ．

（2）已知：△ABC，用无刻度的直尺和圆规求作△DBC，使∠BDC+∠A=180°，且BD=DC．（注：不写作法，保留作图痕迹，对图中涉及到的点用字母进行标注，作出一个符合题意的三角形即可）

Answer 1

【答案】（1）12；（2）如图所示见解析.

【解析】

（1）作AB、BC的垂直平分线，它们相交于点O，再以点O为圆心，OA为半径作圆得到△ABC的外接圆，利用三角形面积公式得到当点A到BC的距离最大时，△ABC面积的最大，此时点A在优弧BC的中点，利用圆周角定理可判断△A′BC为等边三角形，然后利用等边三角形的面积的计算方法可得到△ABC面积的最大值；

（2）BC的垂直平分线交BC弧于D，根据垂径定理得到弧BD＝弧CD，根据圆周角定理得到∠BDC＋∠A＝180°，从而可判断△DBC满足条件．

解：（1）作△ABC的外接圆⊙O，

当点A到BC的距离最大时，△ABC面积的最大，此时点A在BC的垂直平分线上，

如图，点A在A′时△ABC的面积最大，

∵∠BA′C＝∠BAC＝60°，

A′B＝A′C，

∴△A′BC为等边三角形，

∴△ABC面积的最大值＝×（4）2＝12

故答案为12，

（2）如图，△DBC为所作．