Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b）、D（﹣d，d），连BD交x轴于E．

（1）如图1，若a、b、d满足（a﹣4）2+（a﹣b）2+＝0，求△ADE的面积．

（2）如图2，在（1）的条件下，点P在x轴上A点右侧，连BP过点P作PQ⊥PB交直线AD于Q，求证：PQ＝PB．

（3）如图3，设AB＝c，且d＝﹣2．当BD平分∠ABO时，试求a﹣b+c的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）4．

【解析】

（1）作DC∥OA交y轴于C，根据非负数的性质分别求出a、b、d，根据相似三角形的性质求出OE，得到AE的长，根据三角形的面积公式计算即可；

（2）作DG⊥OA于G，连接BQ，根据圆周角定理得到∠QBP＝∠QAP＝45°，根据等腰三角形的判定定理证明；

（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，根据坐标与图形性质得到DF＝DH＝2，根据角平分线的性质得到DF＝DK＝2，得到DH＝DK，证明Rt△DAH≌Rt△DAK，根据全等三角形的性质得到AK＝AH＝a﹣2，根据BK＝BF列式计算，得到答案．

解：（1）∵（a﹣4）2+（a﹣b）2+＝0，

∴（a﹣4）2＝0，（a﹣b）2＝0，＝0，

∴a﹣4＝0，a﹣b＝0，d+2＝0，

解得，a＝b＝4，d＝﹣2，

如图1，作DC∥OA交y轴于C，

则△BOE∽△BCD，

∴＝，即＝，

解得，OE＝，

则AE＝OA﹣OE＝，

∴△ADE的面积＝××2＝；

（2）如图2，作DG⊥OA于G，连接BQ，

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠BAO＝45°，

∵AG＝OA﹣OG＝2，

∴AG＝DG，

∴∠DAG＝45°，

∴∠BAQ＝∠BAD＝90°，∠QAP＝∠DAG＝45°，

∵∠BAQ＝∠BPQ＝90°，

∴点A、B、Q、P四点共圆，

∴∠QBP＝∠QAP＝45°，又∠BPQ＝90°，

∴PQ＝PB；

（3）作DF⊥y轴于H，DH⊥x轴于H，DK⊥BA交BA的延长线于K，

则DF＝DH＝2，

∵BD平分∠ABO，DF⊥y轴，DK⊥BA，

∴DF＝DK＝2，

∴DH＝DK，BK＝BF＝b+2，

在Rt△DAH和Rt△DAK中，

，

∴Rt△DAH≌Rt△DAK（HL）

∴AK＝AH＝a﹣2，

∴BK＝c+a﹣2，

∴c+a﹣2＝b+2，

∴a﹣b+c＝4．