Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴、y轴于点B、点C，直线CD交x轴于点A，点D的坐标为（-$\frac{3}{2}$，2），点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点A运动到点B，点Q在线段AB上以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t（秒），△DPQ的面积为S（S＞0）．
（1）BQ的长为2t（用含t的代数式表示）；
（2）求点A的坐标；
（3）求S与t之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据“路程=速度×时间”，即可得出BQ的长度；
（2）分别令直线AB解析式中x=0、y=0求出与之相对应的y、x的值，由此即可得出点C、B的坐标，根据点C、D的坐标利用待定系数法即可求出直线CD的解析式，再令CD解析式中y=0求出x值，从而得出点A的坐标；
（3）由点A、B的坐标以及点P、Q两点的运动速度，即可得出“当t=2时，P、Q重合，当t=3时点Q到达A点，当t=6时，点P到达B点”．由此分0≤t＜2、2＜t≤3和3＜t≤6三段来求出S关于t的函数关系式，综合在一起即可得出结论．

解答 解：（1）∵点Q在线段AB上以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，
∴BQ=2t．
故答案为：2t．
（2）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+4分别交x轴、y轴于点B、点C，
∴当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）．
当y=0时，x=3，
∴点B的坐标为（3，0）．
设直线CD所对应的函数表达式为y=kx+b（k≠0），
将C（0，4）、D（-$\frac{3}{2}$，2）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}k+b=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线CD所对应的函数表达式为y=$\frac{4}{3}$x+4．
∵直线CD交x轴于点A，
当y=0时，x=-3，
∴点A的坐标为（-3，0）．
（3）∵A（-3，0），B（3，0），点P在线段AB上以每秒1个单位的速度从点A运动到点B，点Q在线段AB上以每秒2个单位的速度从点B运动到点A，
∴AB=3-（-3）=6，
∴当t=2时，P、Q重合，当t=3时点Q到达A点，当t=6时，点P到达B点．
当0≤t＜2时，S=$\frac{1}{2}$PQ•y_D=$\frac{1}{2}$×2×（6-t-2t）=-3t+6；
当2＜t≤3时，S=$\frac{1}{2}$PQ•y_D=$\frac{1}{2}$×2×（t+2t-6）=3t-6；
当3＜t≤6时，S=$\frac{1}{2}$AP•y_D=$\frac{1}{2}$×2×t=t．
综上可知：$S=\left\{\begin{array}{l}{-3t+6（0≤t＜2）}\\{3t-6（2＜t≤3）}\\{t（3＜t≤6）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了一次函数上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）根据数量关系求出BQ的值；（2）利用待定系数法求出直线CD的解析式；（3）分0≤t＜2、2＜t≤3和3＜t≤6三段来求出S关于t的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据线段的长度以及两点的运动速度，将整个运动过程分成几段来求出三角形的面积是关键．