Question

在半径为1的圆周上作两条弦AB=1，AC=，则∠BAC的度数为________．

Answer 1

105°或15°
分析：分类讨论：当AC与AB在点A的两旁．由OA=OB=1，AB=1，得到△OAB为等边三角形，则∠OAB=60°，又由OA=OC=1，AC=，得到
∴△OAC为等腰直角三角形，则∠OAC=45°，所以∠BAC=45°+60°=105°；当AC与AB在点A的同旁．有∠BAC=∠OAB-∠OAC=60°-45°=15°．
解答：解：（1）当AC与AB在点A的两旁．
连OC，OA，OB，如图，
在△OAB中，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°；
在△OAC中，
∵OA=OC=1，AC=，即1²+1²=（）²，
∴OA²+OC²=AC²，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
所以∠BAC=45°+60°=105°；

（2）当AC与AB在点A的同旁．
同（1）一样，可求得∠OAB=60°，∠OAC=45°，
∴∠BAC=∠OAB-∠OAC=60°-45°=15°．
故答案为：105°或15°．
点评：本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了特殊三角形的边角关系和分类讨论的思想的运用．