Question

如图所示，已知抛物线y=ax²+bx+c过点A（-1，0），且经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点M在第四象限内且在抛物线上，有OM⊥BC，垂足为D，求点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=x-3求出其与x轴、y轴的交点A、B的坐标，利用三点坐标，结合待定系数法，即可求出抛物线解析式；
（2）根据直线OD和BC垂直时比例系数互为相反数，得到OD的比例系数，又直线OD过原点，可知其为正比例函数，即可得到OD的解析式，然后将直线和抛物线组成方程组，即可解出M的坐标．

解答：解：（1）∵y=x-3与x轴的交点B的坐标为（3，0），与y轴的交点C的坐标为（0，-3），A点坐标为（-1，0），
∴设二次函数解析式为y=a（x+1）（x-3），
将C（0，-3）代入解析式得，
-3=a×1×（-3），
解得，a=1，
则二次函数解析式为y=（x+1）（x-3），
即y=x²-2x-3，
（2）∵OD过原点，
∴设OD的解析式为y=kx，
∵OM⊥BC，BC解析式为y=x-3，
∴k_OD=-1，
则OD的解析式为y=-x，
将y=x²-2x-3和y=-x组成方程组得

y=-x y=x2-2x-3

，
整理得，x²-x-3=0，
解得，x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

（不合题意，舍去），
把x₁=

1+ 13

2

代入y=-x得，
y₁=-

1+ 13

2

，
∴M点坐标为（

1+ 13

2

，-

1+ 13

2

）．

点评：本题考查了二次函数的相关问题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线、直线与x轴的交点问题、垂直直线的系数的关系，难度较大，要仔细审题．