在平面直角坐标系xoy中.二次函数y=x2+bx+c的图象与y轴交于点B．(1)当c=5时.若在函数值y=1的情况下.只有一个自变量x的值与其对应.求此时二次函数的解析式,(2)如图.抛物线的顶点A在直线y=$\frac{3}{4}$x上运动.当△AOB为直角三角形时.求b.c的值,(3)当c=b2时.若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下.与其对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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7．在平面直角坐标系xoy中，二次函数y=x²+bx+c（b，c为常数）的图象与y轴交于点B．
（1）当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；
（2）如图，抛物线的顶点A在直线y=$\frac{3}{4}$x上运动，当△AOB为直角三角形时，求b、c的值；
（3）当c=b²时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．

分析（1）根据当c=5时，若在函数值y=l的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，得到x²+bx+5=1有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式；
（2）设点A的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m），设抛物线的解析式为y=（x-m）²+$\frac{3}{4}$m，然后可用含m的式子表示点B的坐标，接下来，再求得直线AB的解析式，最后依据直线AB与直线AO垂直，可求得m的值；
（3）当c=b²时，写出抛物线的解析式，然后分为-$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0；b≤-$\frac{b}{2}$≤b+3时，即-2≤b≤0；-$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-2三种情况分类计算即可．

解答解：（1）当c=5时，二次函数的解析式为y=x²+bx+5，
由题意得，x²+bx+5=1有两个相等是实数根，
∴△=b²-16=0，
解得，b₁=4，b₂=-4，
∴二次函数的解析式y=x²+4x+5，y=x²-4x+5；

（2）如图所示：

设点A的坐标为（m，$\frac{3}{4}$m），
设抛物线的解析式为y=（x-m）²+$\frac{3}{4}$m，整理得：y=x²-2mx+m²+$\frac{3}{4}$m．则B（0，m²+$\frac{3}{4}$m）．
设AB的解析式为y=kx+m²+$\frac{3}{4}$m，将点A的坐标代入得：km+m²+$\frac{3}{4}$m=$\frac{3}{4}$m，解得k=-m．
∵∠BAO=90°，
∴k=-$\frac{4}{3}$，
∴m=$\frac{4}{3}$．
∴抛物线的解析式为y=（x-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{3}{4}$×$\frac{4}{3}$，整理得：y=x²-$\frac{8}{3}$x+$\frac{25}{9}$．
∴b=-$\frac{8}{3}$，c=$\frac{25}{9}$．
（3）当c=b²时，二次函数解析式为y═x²+bx+b²，
图象开口向上，对称轴为直线x=-$\frac{b}{2}$，
①当-$\frac{b}{2}$＜b，即b＞0时，在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而增大，
∴当x=b时，y=b²+b•b+b²=3b²为最小值，
∴3b²=21，解得，b₁=-$\sqrt{7}$（舍去），b₂=$\sqrt{7}$；
②当b≤-$\frac{b}{2}$≤b+3时，即-2≤b≤0，
∴x=-$\frac{b}{2}$，y=$\frac{3}{4}$b²为最小值，
∴$\frac{3}{4}$b²=21，解得，b₁=-2 $\sqrt{7}$（舍去），b₂=2 $\sqrt{7}$（舍去）；
③当-$\frac{b}{2}$＞b+3，即b＜-2，
在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，y随x的增大而减小，
故当x=b+3时，y=（b+3）²+b（b+3）+b²=3b²+9b+9为最小值，
∴3b²+9b+9=21．解得，b₁=1（舍去），b₂=-4；
∴b=$\sqrt{7}$时，解析式为：y=x²+$\sqrt{7}$x+7
b=-4时，解析式为：y=x²-4x+16．
综上可得，此时二次函数的解析式为y=x²+$\sqrt{7}$x+7或y=x²-4x+16．

点评本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一元二次方程根的判别式、待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，分类讨论是解答本题的关键．

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