Question

如图，点C、D分别在扇形AOB的半径OA、OB的延长线上，且OA＝3，AC＝2，CD平行于AB，并与弧AB相交于点M、N．

【小题1】求线段OD的长；
【小题2】若，求弦MN的长．

Answer 1

【小题1】OD="5" (根据平行可证得△COD是等腰三角形,OD=OC=5)
【小题2】过点O作OE^MN，垂足为点E，并连结OM，根据tanC=与OC=5，
得OE=，在Rt△OEM中，利用勾股定理，得ME=2，即AM=2ME=4。

解析考点：垂径定理；勾股定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形。
分析：
（1）根据CD∥AB可知，△OAB∽△OCD，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出OD的长；
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，由垂径定理可知ME=1/2MN，再根据tan∠C=1/2可求出OE的长，利用勾股定理即可求出ME的长，进而求出答案。
解答：
（1）∵CD∥AB，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△OAB∽△OCD，
∴OA/OC=OB/OD，
即OA/（OA+AC）=OB/OD，
又OA=3，AC=2，
∴OB=3，
∴3/（3+2）=3/OD
∴OD=5。
（2）过O作OE⊥CD，连接OM，则ME=1/2MN，

∵tan∠C=1/2，即
OE/CE=1/2，
∴设OE=x，则CE=2x，
在Rt△OEC中，OC²=OE²+CE²，即5²=x²+（2x）²，解得x=，
在Rt△OME中，OM²=OE²+ME²，即3²=（）²+ME²，解得ME=2。
∴MN=4。
答：弦MN的长为4。
点评：本题考查的是垂径定理，涉及到锐角三角函数的定义、相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键。