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    10．如图1，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK，KB交MN于O．
    （1）①若∠1=80°，求∠MKN=20°；
    ②不同的折叠得到不同的△MNK，△MNK的面积的最大值为$\frac{13}{10}$．
    （2）将纸片按如图2所示的方法再沿KP折叠，使点M在线段KD上，两次折叠部分与原矩形的重合部分为四边形KPMN，设四边形KPMN的面积为S．
    ①判断四边形KPMN的形状，并说明理由；
    ②求出S的最小值与最大值；
    ③四边形KPMN能成为某种特殊四边形吗？指出此时折痕MN需要满足的条件，并求出S的值．

    分析 （1）①只要证明∠KNM=∠KMN=80°，即可解决问题．
    ②如图1中，当点B与点D重合时，△MKN的面积最大，设DM=x．根据勾股定理列出方程即可解决问题．
    （2）①结论：四边形KPMN是平行四边形．只要证明KN=PM，KN∥PM即可．
    ②当点D与M重合，点B与点K重合时，S最大，设BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，由题意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解方程组即可．当MK⊥A′B′时，根据垂线段最短可知，MK的最小值为1，此时S的最小值为1．
    ③当∠NMB′=60°或120°时，四边形KPMN是菱形．求出菱形的高和边长即可．

    解答 解：（1）①如图2中，

    ∵DN∥AM，
    ∴∠DNM=∠1=80°，
    ∵∠KMN=∠1=80°，
    ∴∠NKM=180°-∠KNM-∠KMN=20°，
    故答案为20°．

    ②如图1中，当点B与点D重合时，△MKN的面积最大，设DM=x．

    在Rt△AMD中，AD=1，AM=5-x，DM=x，
    ∴x2=12+（5-x）2，
    ∴x=$\frac{13}{5}$，
    由①可知∠DMN=∠DNM，
    ∴KN=DM=$\frac{13}{5}$，
    ∴△KNM的面积最大值为$\frac{1}{2}$•$\frac{13}{5}$•1=$\frac{13}{10}$．
    故答案为$\frac{13}{10}$．

    （2）①结论：四边形KPMN是平行四边形．
    理由：如图3中，

    ∵A′B′∥C′D′，
    ∴∠KNM=∠NMB′=∠NMK，
    ∴KN=KM，同理可证KM=PM，
    ∴KN=PM，∵KN∥PM，
    ∴四边形KPMN是平行四边形．

    ②如图4中，

    当点D与M重合，点B与点K重合时，S最大．设BD=B′D=BD′=x，A′P=C′N=y，
    由题意$\left\{\begin{array}{l}{2x+Y=5}\\{{x}^{2}=1+{y}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10-\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{2\sqrt{22}-5}{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{10+\sqrt{22}}{3}}\\{y=\frac{-5-2\sqrt{22}}{3}}\end{array}\right.$（舍弃）．
    ∴NK=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$，
    ∴S的最大值=$\frac{10-\sqrt{22}}{3}$．
    当MK⊥A′B′时，根据垂线段最短可知，MK的最小值为1，此时S的最小值为1．

    ③四边形KPMN能成为某种特殊四边形，当∠NMB′=60°或120°时，四边形KPMN是菱形．
    此时菱形的高为1，边长为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，所以S=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

    点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、勾股定理、二元二次方程组、菱形的判定和性质等知识，第一个问题中的②解题的关键是正确寻找点B的位置，第二个问题中的②的解题关键是学会利用方程组解决问题，属于中考压轴题．

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