Question

如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是

AB

上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；
（2）当点C在

AB

上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段的长度；
（3）求证：CD²+3CH²是定值．

Answer 1

分析：（1）连接OC，容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形，然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE可以知道四边形CHOG的对角线互相平分，从而判定其是平行四边形；
（2）由于四边形ODCE是矩形，而矩形的对角线相等，所以DE=OC，而CO是圆的半径，这样DE的长度不变，也就DG的长度不变；
（3）过C作CN⊥DE于N，设CD=x，然后利用三角形的面积公式和勾股定理用x表示CN，DN，HN，再利用勾股定理就可以求出CD²+3CH²的值了．

解答：（1）证明：连接OC交DE于M．
由矩形得OM=CM，EM=DM．
∵DG=HE．
∴EM-EH=DM-DG．
∴HM=GM．
∴四边形OGCH是平行四边形．

（2）解：DG不变．
在矩形ODCE中，∵DE=OC=3．
∴DG=1．

（3）证明：设CD=x，则CE=

9-x2

．过C作CN⊥DE于N．
由DE•CN=CD•EC得CN=

x 9-x2

3

．
∴DN=

x2-( x 9-x2 3 )2

=

x2

3

．
∴HN=3-1-

x2

3

=

6-x2

3

．
∴3CH²=3[（

6-x2

3

）²+（

x 9-x2

3

）²]=12-x²．
∴CD²+3CH²=x²+12-x²=12．

点评：本小题主要考查圆、矩形、平行四边形、直角三角形等基础图形的性质与判定，考查计算能力、推理能力和空间观念．