Question

5．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，如果△ABC的高线AH长8cm，底边BC长10cm，设DG=xcm，DE=ycm，
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）当x为何值时，四边形DEFG的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）设DE=y，则MH=y，AM=AH-MH=8-y，因为DG∥BC，可证△ADG∽△ABC，根据相似三角形对应边上高的比等于相似比，建立等式；
（2）设四边形DEFG的面积为S，则S=DE×DG=xy=x（8-$\frac{4}{5}$x），运用二次函数性质解决问题．

解答 解：（1）设AH与DG交于点M，则AM=AH-MH=8-y，
∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AH}$=$\frac{DG}{BC}$，即$\frac{8-y}{8}=\frac{x}{10}$，
整理，得$y=8-\frac{4}{5}x$；
（2）设四边形DEFG的面积为S，则S=DE×DG=xy=x（8-$\frac{4}{5}$x）=-$\frac{4}{5}{x}^{2}$+8x，
当x=-$\frac{b}{2a}$=5时，S=-$\frac{4}{5}$×25+8×5=20，
所以当x=5时，四边形DEFG面积最大，最大面积是20．

点评 本题考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG的宽表示出长是解题的关键．