精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,0A与⊙0相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若PC=2
5
,求线段PB的长.
分析:(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°,推出∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠CPA=90°,求出∠ACP=∠ABC,根据等腰三角形的判定推出即可;
(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r,根据AB=AC推出52-r2=(2
5
2-(5-r)2,求出r,证△DPB∽△CPA,得出
CP
PD
=
AP
BP
,代入求出即可.
解答:解:(1)AB=AC,理由如下:
连接OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;

(2)延长AP交⊙O于D,连接BD,
设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r,
则AB2=OA2-OB2=52-r2
AC2=PC2-PA2=(2
5
2-(5-r)2
∴52-r2=(2
5
2-(5-r)2
解得:r=3,
∴AB=AC=4,
∵PD是直径,
∴∠PBD=90°=∠PAC,
又∵∠DPB=∠CPA,
∴△DPB∽△CPA,

CP
PD
=
AP
BP

2
5
3+3
=
5-3
BP

∴BP=
6
5
5

答:线段PB的长为
6
5
5
点评:本题考查了等腰三角形的性质和判定,相似三角形的性质和判定,切线的性质,勾股定理,直线与圆的位置关系等知识点的应用,主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强,有一定的难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:初中数学 来源: 题型:

22、如图,已知直线MN与直线MN同侧的两点A、B,试在MN上找一点,使得PA=PB.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

26、如图,已知直线AB与CD相交于点O,OB平分∠EOD,∠1+∠2=90°,
问:图中的线是否存在互相垂直的关系,若有,请写出哪些线互相垂直,并说明理由;若无,直接说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知直线L与⊙O相切于点A,直径AB=6,点P在L上移动,连接OP交⊙O于点C,连接BC并延长BC交直线L于点D.
精英家教网(1)若AP=4,求线段PC的长;
(2)若△PAO与△BAD相似,求∠APO的度数和四边形OADC的面积(答案要求保留根号).

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知直线AB与CD相交于点O,OE、OF分别是∠BOD、∠AOD的平分线.
(1)∠DOE的补角是
∠AOE或∠COE
∠AOE或∠COE

(2)若∠BOD=62°,求∠AOE和∠DOF的度数;
(3)判断射线OE与OF之间有怎样的位置关系?并说明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知直线l1与l2交于一点P,l1的函数表达式是y=2x+3,l2的函数表达式是y=kx+b(k≠0).点P的横坐标是-1,且l2与y轴的交点A的纵坐标也是-1.
(1)求直线l2的函数表达式.
(2)根据图象,直接写出当x在什么范围时,有2x+3>kx+b>-1.

查看答案和解析>>

同步练习册答案