【题目】已知:如图,在△ABC中,AB=AC且tanA= ,P为BC上一点,且BP:PC=3:5,E、F分别为AB、AC上的点,且∠EPF=2∠B,若△EPF的面积为6,则EF=________.
【答案】2
【解析】
由∠B=∠C、∠A+∠B+∠C=180°,知∠A+2∠B=180°,由∠β=2∠B得∠A+∠β=180°,根据四边形内角和得∠3+∠4=180°,继而由∠4+∠1=180°知∠3=∠1,再分两种可能:①∠3=∠4=90°,结合∠B=∠C可得△PBE∽△PFC,从而得知 ②∠3≠∠4,以P为圆心,PF为半径画弧交CF于点G,证△PBE∽△PCG得作FD⊥EP,由∠β+∠A=∠β+∠α=180°知∠A=∠α,从而得tanA=tanα= 故可设FD=4x,则PD=3x,求出PF=PG=5x,PE=3x,根据,可得x的值,从而得出DE、DF的长,即可得答案.
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵
∴
如图所示,
∵∠β=∠EPF=2∠B,
∴
∵
∴
∵
∴∠3=∠1,
若
∵∠B=∠C,
∴△PBE∽△PFC,
∴
若∠3≠∠4,不放设∠4>∠3,则可以P为圆心,PF为半径画弧交CF于点G,
∴PF=PG,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠1,
∴∠3=∠2,
∴∠5=∠6,
∴△PBE∽△PCG,
∴
作FD⊥EP于点D,
∵
∴∠A=∠α,
∵tanA=tanα=
设FD=4x,则PD=3x,(x>0),
由勾股定理得PF=5x,即PG=5x,
∵
∴PE=3x,
∴
∵
∴
解得:x=1或x=1(舍),
∴DE=6x=6,DF=4x=4,
由勾股定理可得
故答案为:
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【题目】目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注,针对这种现象,我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法,统计整理并制作了如下的统计图:
(1)这次调查的家长总数为________人.家长表示“不赞同”的人数为________人;
(2)请在图①中把条形统计图补充完整;
(3)从这次接受调查的家长中随机抽查一个,恰好是“赞同”的家长的概率是________;
(4)求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数.
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【题目】如图,抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标A(﹣1,3),与x轴的一个交点B(﹣4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:①2a﹣b=0;②abc<0;③抛物线与x轴的另一个交点坐标是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有两个相等的实数根;⑤当﹣4<x<﹣1时,则y2<y1.
其中正确的是( )
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=﹣+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=﹣x+3与二次函数y=﹣+bx+c的图象分别交于B,C两点,点B在第一象限.
(1)求二次函数y=﹣+bx+c的表达式;
(2)连接AB,求AB的长;
(3)连接AC,M是线段AC的中点,将点B绕点M旋转180°得到点N,连接AN,CN,判断四边形ABCN的形状,并证明你的结论.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A、C分别在轴的负半轴、轴的正半轴上,点B在第二象限.将矩形OABC绕点O顺时针旋转,使点B落在轴上,得到矩形ODEF,BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=(x<0)的图象交AB于点N,的图象交AB于点N, S矩形OABC=32,tan∠DOE=,,则BN的长为______________.
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【题目】我国南水北调中线工程的起点是丹江口水库,按照工程计划,需对原水库大坝进行混凝土培厚加高,使坝高由原来的162米增加到176.6米,以抬高蓄水位,如图是某一段坝体加高工程的截面示意图,其中原坝体的高为BE,背水坡坡角∠BAE=68°,新坝体的高为DE,背水坡坡角∠DCE=60°.求工程完工后背水坡底端水平方向增加的宽度AC.(结果精确到0.1米,参考数据:sin 68°≈0.93,cos 68°≈0.37,tan 68°≈2.5,≈1.73)
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【题目】如图,⊙O的内接四边形ABCD中,AC,BD是它的对角线,AC的中点I是△ABD的内心.求证:
(1)OI是△IBD的外接圆的切线;
(2)AB+AD=2BD.
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【题目】如图,△ABC中,∠C=90°,BC=6 cm,AC=8 cm,点P从点A开始沿AC向点C以2厘米/秒的速度运动;与此同时,点Q从点C开始沿CB边向点B以1厘米/秒的速度运动;如果P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.
(1)经过几秒,△CPQ的面积等于3cm2?
(2)在整个运动过程中,是否存在某一时刻t,使PQ恰好平分△ABC的面积?若存在,求出运动时间t;若不存在,请说明理由.
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