Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为线段BC上的一个动点，以AD为直角边向右作等腰Rt△ADF，使AD=AF，∠DAF=90°．
（1）如图1，连结CF，求证：△ABD≌△ACF；
（2）如图2，过A点作△ADF的对称轴交BC于点E，猜想BD2，DE2，CE2关系，并证明你的结论；

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）CE2+BD2=DE2，理由见解析；

【解析】

（1）先判断出∠BAD=∠CAF．即可得出结论；
（2）利用△ABD≌△ACF，得出∠ACF=45°，BD=CF，进而得出∠DCF=90°，即可得出结论；

（1）∵∠BAC=∠DAF=90°，
∴∠BAD=∠CAF，
在△ABD和△ACF中，

，
∴△ABD≌△ACF；
（2）CE2+BD2=DE2；理由：
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABD=∠ACB=45°，
由（1）知，△ABD≌△ACF，
∴BD=CF，∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ECF=90°，
根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∵AE是△ADF的对称轴，
∴DE=EF，
∴CE2+BD2=DE2；