Question

4．已知x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的两个实数根．
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若（x₁-2）（x₂-2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x₁，x₂恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．

Answer 1

分析 （1）将m=0代入方程x²-2（m+2）x+m²=0，得到x²-4x=0，利用因式分解法求解即可；
（2）利用（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，求得m的值，再利用根的判别式检验即可；
（3）分9为底边和9为腰两种情况分类讨论即可确定等腰三角形的周长．

解答 解：（1）当m=0时，方程即为x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=4；

（2）∵x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²-2（m+2）x+m²=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=2（m+2），x₁x₂=m²，
∴（x₁-2）（x₂-2）=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=m²-4（m+2）+4=m²-4m-4=41，
∴m²-4m-45=0，
解得m₁=9，m₂=-5．
当m₁=9时，方程为x²-22x+81=0，△=（-22）²-4×81=160＞0，符合题意；
当m₁=-5时，方程为x²+6x+25=0，△=6²-4×25=-64＜0，不符合题意；
故m的值为9；

（3）①当9为底边时，此时方程x²-2（m+2）x+m²=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+2）²-4m²=0，
解得：m=-1，
∴方程变为x²-2x+1=0，
解得：x₁=x₂=1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x₁=9，
代入方程得：81-18（m+2）+m²=0，
解得：m=15或3，
当m=15时方程变为x²-34x+225=0，
解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m=3时方程变为x²-10x+9=0，
解得：x=1或9，
此时三角形的周长为9+9+1=19．

点评 本题考查了根的判别式，根与系数的关系，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分别与系数的关系．