Question

如图，菱形ABCD中，点M为AD的中点，点N在AB上，DE⊥BC的延长线于点E，连接BM、DN、EN，∠AND=∠MBC．
（1）AN=3，BE=8，求DE的长；
（2）求证：∠DNE=2∠ABM．

Answer 1

考点：菱形的性质

专题：

分析：（1）根据菱形的性质得出AD=CD=BC=AB，AD∥BC，推出∠AMB=∠MBC，求出∠AND=∠AMB，求出△ABM≌△ADN，求出AM=AN=3，求出DC，CE，根据勾股定理求出即可；
（2）过N作NQ∥AD交DE于Q，求出Q为DE中点，推出DN=NE，求出∠DNQ=∠ENQ=

1

2

∠DNE，根据全等三角形性质得出∠ABM=∠ADN，即可得出答案．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD=BC=AB，AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC，
∵∠AND=∠MBC，
∴∠AND=∠AMB，
在△ABM和△ADN中

∠AMB=∠AND ∠A=∠A AB=AD

∴△ABM≌△ADN，
∴AM=AN=3，
∵M为AD的中点，
∴AD=6，
∴AB=DC=BC=6，
∵BE=8，
∴CE=8-6=2，
∵⊥BC，
∴∠DEC=90°，由勾股定理得：DE=

DC2-CE2

=

62-22

=4

2

；

（2）证明：过N作NQ∥AD交DE于Q，
∵AN=3，AB=6，
∴N为AB中点，
∵AD∥BC，
∴AD∥NQ∥BC，
∴Q为DE中点，
∵DE⊥BC，
∴NQ⊥DE，
∴DN=NE，
∴∠DNQ=∠ENQ=

1

2

∠DNE，
∵△ABM≌△ADN，
∴∠ABM=∠ADN，
∵AD∥NQ，
∴∠ADN=∠DNQ，
∴∠DNE=2∠ABM．

点评：本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．