Question

7．已知：关于x的方程x²-（k+1）x+2k-2=0
（1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若方程的两根分别为x₁，x₂，且满足x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2x₁+2x₂+8，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=（k-3）²≥0，由此即可证出：无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）由根与系数的关系可得出x₁+x₂=k+1、x₁•x₂=2k-2，结合x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2x₁+2x₂+8，即可得出关于k的一元二次方程，解之即可得出k的值．

解答 （1）证明：在方程x²-（k+1）x+2k-2=0中，△=[-（k+1）]²-4×（2k-2）=（k-3）²≥0，
∴无论k取任何实数值，方程总有实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=k+1，x₁•x₂=2k-2．
∵x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=2x₁+2x₂+8，即（k+1）²-2（2k-2）=2（k+1）+8，
整理得：k²-4k-5=0，
解得：k₁=-1或k₂=5．

点评 本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$=2x₁+2x₂+8，找出关于k的一元二次方程．