Question

1．已知：如图，在矩形ABCD中，BC=2$\sqrt{3}$，AB=6，在Rt△EOF中，∠FOE=90°，EO=4，EF=8，点E在CB的延长线上，点O与点B重合．现将Rt△EOF绕点O按顺时针方向旋转，OF与AD边交于点P，旋转时，点P以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度沿AD运动，当点P到达点D时，Rt△EOF停止旋转运动，立即改为沿BC边以每秒$\sqrt{3}$个单位长度的速度向点C平移，当点O到达点C时，停止运动．设Rt△EOF的运动时间为x（秒）．
（1）当x为多少时，点P到达点D；
（2）Rt△EOF在运动过程中与矩形ABCD重合部分的面积为y，求y与x的函数关系式；
（3）在平移过程中，线段OE与AB的交点为M，是否存在某时刻x，使△MDO为等腰三角形？若存在，请直接写出；不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得出AC的长度，进而得出AP的长度解答即可；
（2）根据x的取值范围0＜x≤1、1＜x≤2，2＜x≤4，分类得出函数的解析式即可；
（3）根据M为OE与AB的交点和等腰三角形的性质，得出x的值即可．

解答 解：（1）∵EO=4，EF=8，∠FOE=90°，
∴在Rt△OEF中，由勾股定理可得：EF²=EO²+FO²，即8²=4²+FO²，
∴FO=4$\sqrt{3}$，
∵BC=$2\sqrt{3}$，AB=6，四边形ABCD为矩形，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC²=AB²+BC²，即AC²=6²+（4$\sqrt{3}$）²
∴AC=4$\sqrt{3}$，
∴FO=AC，
当点P到达点D时，F、P、D在一点上，
∴AP=$2\sqrt{3}$，
∵P移动速度以每秒$\sqrt{3}$个单位长度，
∴x=$2\sqrt{3}÷\sqrt{3}=2$（秒）；

（2）①0＜x≤1时，S=3$\sqrt{3}$x；
②1＜x≤2时，S=-$\frac{1}{2}$x²+3$\sqrt{3}$x；
③2＜x≤4时，S=-（3$\sqrt{3}$+1）x²+12$\sqrt{3}$x-6$\sqrt{3}$；

（3）由于M为OE与AB的交点，所以4＜x≤8，
MO²=2（x-4）²
MD²=（8-x）²+6²
DO²=（10-x）²+4²
若MO²=MD²时，x=$\sqrt{68}$＞8（舍去）
若DO²=MD²时，x=4（舍去）
若MO²=OD²时，x=-2±2$\sqrt{22}$，x=-2-2$\sqrt{22}$ （舍去）
故存在x=-2+2$\sqrt{22}$，使△MOD为等腰三角形．

点评 此题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质，准确找出图形在运动中的数量关系，利用面积和勾股定理解决问题．