Question

20．已知：如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，AD∥BC，∠ADB=90°，cosA=$\frac{1}{3}$．
求：（1）DC的长；
（2）如果点E为CD的中点，联结BE，求∠EBC的正切值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADB中，利用三角函数求出AD，利用勾股定理求出BD，在Rt△BDC中，利用勾股定理求出CD即可．
（2）首先证明∠EBC=∠C，推出tan∠EBC=tan∠C=$\frac{DB}{BC}$，由此即可解决问题；

解答 解：（1）在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AB=3，cosA=$\frac{1}{3}$=$\frac{AD}{AB}$，
∴AD=1，
∴BD=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB=90°，
∵BC=4，
∴CD=$\sqrt{B{D}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{8+16}$=2$\sqrt{6}$．

（2）在Rt△BDC中，∵DE=EC，
∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C，
∴tan∠EBC=tan∠C=$\frac{DB}{BC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查解直角三角形、锐角三角函数、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．