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(2009•虹口区二模)如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,,D是BC边的中点,E为AB边上的一个动点,作∠DEF=90°,EF交射线BC于点F.设BE=x,△BED的面积为y.
(1)求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)如果以线段BC为直径的圆与以线段AE为直径的圆相切,求线段BE的长;
(3)如果以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似,求△BED的面积.

【答案】分析:(1)根据∠B的正切值和AC的值,求出BC的值,也就求出了BD的值,然后求三角形BED的高;根据BC的长和∠B的正弦值,表示出BD边上的高,再根据三角形BED的面积公式得出y,x的函数关系式;
(2)可先表示出AE的长,过AE的中点(设为O)作BC的垂线OG,可根据OG,GD的长,来表示出OD,然后根据两圆外切和内切的不同,让两圆的半径相加或相减后等于圆心距OD,得出关于x的方程,求出x的解;
(3)若两三角形相似,则∠BEF=∠BDF.求△BED的面积就需要知道底边和高,关键是求出BE的长,可通过构建相等的线段,来得出关于x的方程求解.
分别过E,D作EH⊥BC于H,DM⊥AB于M,根据∠DEM是∠MDE和∠FEB的余角,因此∠MDE=∠FEB=∠FDE.
因此可得出EM=EH,可根据EM,EH的不同的表示方法,来得出含x的等式,从而求出x的值.
也就可以求出三角形BED的面积了.
∠BEF为锐角和钝角的不同情况时,表示线段EM的式子会略有不同,但是思路是一致的,不要丢掉任何一种情况.
解答:解:(1)∵在△ABC中,∠C=90°,AC=6,
∴BC=8,AB=10,
∴CD=DB=4.
过点E作EH⊥CB于H.
则可求得EH=x.
∴y=×4×x=x(0<x≤或5<x≤10).

(2)取AE的中点O,过点O作OG⊥BC于G,连接OD.
则OG=OB=×=(10+x),GD=CD-CG=4-(10-x)=x,
∴OD=
若两圆外切,则可得BC+AE=OD,
∴(BC+AE)2=4OD2
∴(8+10-x)2=4[(10+x)2+x2]
解得x=
若两圆内切,得|BC-AE|=OD,
∴(BC-AE)2=4OD2
∴(8-10+x)2=4[(10+x)2+x2]
解得x=-(舍去),所以两圆内切不存在.
所以,线段BE的长为

(3)由题意知∠BEF≠90°,故可以分两种情况.
①当∠BEF为锐角时,
由已知以B、E、F为顶点的三角形与△BED相似,又知∠EBF=∠DBE,∠BEF<∠BED,所以∠BEF=∠BDE.
过点D作DM⊥BA于M,过E作EH⊥BC于H.
根据等角的余角相等,可证得∠MDE=∠HDE,
∴EM=EH.
又EM=MB-EB=-x,
由(1)知:EH=x,

∴x=2.
∴y=×2=
②当∠BEF为钝角时,同理可求得x-=x,
∴x=8.
∴y=×8=
所以,△BED的面积是
点评:本题主要考查了相似三角形的性质、圆与圆的位置关系以及解直角三角形的应用等知识点.
注意(2)和(3)中都要分情况进行讨论:(2)要分两圆是内切还是外切,(3)要分∠BEF时钝角还是锐角进行分类讨论,不要丢掉任何一种情况.
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