Question

把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射线AB相交于点M，接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11-1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中0°＜α＜90°，射线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
（1）当0°＜α＜60°时，求AM•CN的值；
（2）当0°＜α＜60°时，设AM=x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式并求定义域；
（3）当BM=2时，求两块三角形板重叠部分的面积．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，
∴∠A=∠C=∠EDF=60°，
∴∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，
∴∠AMD=∠NDC，
∴△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
而D点为AC的中点，
∴DC=AD=2，
∴AM•CN=4；
（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图
∵∠A=∠C=60°，DA=DC=2，
∴AP=CQ=1，
∴DP=DQ=，
AM=x，则CN=，MB=4-x，BN=4-，
∵BD为等边三角形的高，
∴点D到EF的距离为DB，
∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，
∴y=S_△DBM+S_△DBN=••（4-x）+••（4-）
=4-x-，
在图（1）中，AM=1，
∴当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
（3）当M在线段AB上，BM=2时，x=4-2=2，
即y=4-×2-
=2．
当M点在线段AB的延长线上，如图（备用图），
过D作DH∥BC交AB于H，
∴DH=BC=2，BH=2，
∵BM=2，
∴BP=DH=1，
与①一样可证得△AMD∽△CDN，
∴AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，
∴6×CN=4，即CN=，
∴PN=4-1-=，
∴S_△DPN=PN•DQ=××=．
分析：（1）根据等边三角形的性质得到∠A=∠C=∠EDF=60°，则∠AMD+∠ADM=120°，∠ADM+∠NDC=120°，可得∠AMD=∠NDC，根据相似三角形的判定定理得到△AMD∽△CDN，有相似的性质得到AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，然后把DC=AD=2代入计算即可；
（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，根据等边三角形的性质得∠A=∠C=60°，而DA=DC=2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到AP=CQ=1，DP=DQ=，由AM=x，得CN=，MB=4-x，BN=4-，两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，则y=S_△DBM+S_△DBN，然后根据三角形的面积公式计算即可，易得到当0°＜α＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
（3）当M在线段AB上，BM=2时，x=4-2=2，把x=2代入（2）的关系式中计算即可．当M点在线段AB的延长线上，过D作DH∥BC交AB于H，BP=DH=1，由△AMD∽△CDN，则AM：DC=AD：CN，即AM•CN=DC•AD，可计算出CN，然后根据三角形的面积公式可计算出S_△DPN，即两块三角形板重叠部分的面积．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、旋转的性质以及三角形的面积公式．