Question

等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，BE交CD于F，BA，CA分别平分∠FBC和∠FCB．
（1）如图1，若∠BAD=90゜，则∠DAE=______；
（2）如图2，若∠BAD=60゜，则∠DAE=______．
（3）如图3，若∠DFE=α゜，猜想∠DAE的度数，并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△DAC中，
，
∵△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠CFE=∠BAD=90゜，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∵BA，CA分别平分∠FBC和∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB=45゜，
∵∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=180°-∠BAC，∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴∠DAE=∠ABC+∠ACB=45゜．
故答案为：45°；

（2）∵等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△DAC中，
，
∵△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠CFE=∠BAD=60゜，
∴∠FBC+∠FCB=60°，
∵BA，CA分别平分∠FBC和∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB=30゜，
∵∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=240°-∠BAC，∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=150°，
∴∠DAE=90°．
故答案为：90°；

（3）∠DAE=α-90°．
证明：∵等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△DAC中，
，
∵△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠CFE=∠BAD=180°-∠DFE=180°-α，
∴∠FBC+∠FCB=∠EFC=180°-α，
∵BA，CA分别平分∠FBC和∠FCB，
∴∠ABC+∠ACB=（∠FBC+∠FCB）=90゜-α，
∴∠BAC=180°-（∠ABC+∠ACB）=90°+α，
∵∠DAE=360°-∠BAD-∠CAE-∠BAC=α-90°．
分析：（1）由等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，可证得△ABE≌△ACD，则可得∠BEA=∠ACD=∠CFE=90゜，继而可得∠ABC+∠ACB=45゜，则可求得∠DAE=45゜；
（2）由等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，可证得△ABE≌△ACD，则可得∠BEA=∠ACD=∠CFE=60゜，继而可得∠ABC+∠ACB=30゜，则可求得∠DAE=60゜；
（3）由等腰△ABD和△ACE的顶角∠BAD=∠CAE，可证得△ABE≌△ACD，则可得∠BEA=∠ACD=∠CFE=（180-α）゜，继而可得∠ABC+∠ACB=90゜-α，继而求得答案．
点评：此题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义以及三角形外角的性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．