Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为(2

3

，0)、（0，2），P是△AOB外接圆上的一点，且∠AOP=45°，则点P的坐标为______．

Answer 1

∵OB=2，OA=2

3

，
∴AB=

OA2+OB2

=4，
∵∠AOP=45°，
P点横纵坐标相等，可设为a，
∵∠AOB=90°，
∴AB是直径，
∴Rt△AOB外接圆的圆心为AB中点，坐标C（

3

，1），
P点在圆上，P点到圆心的距离为圆的半径2．
过点C作CF∥OA，过点P作PE⊥OA于E交CF于F，
∴∠CFP=90°，
∴PF=a-1，CF=a-

3

，PC=2，
∴（a-

3

）²+（a-1）²=2²，舍去不合适的根，
可得a=1+

3

，P（1+

3

，1+

3

）；
∵P与P′关于圆心（

3

，1）对称，
∴P′（

3

-1，1-

3

）．
故答案为：（

3

+1，

3

+1）或（

3

-1，1-

3

）