Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点．点A的坐标为（m，3），点B与点A关于y＝x成轴对称，tan∠AOC＝．

（1）求k的值；

（2）直接写出点B的坐标，并求直线AB的解析式；

（3）P是y轴上一点，且S△PBC＝2S△AOB，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）k＝﹣3；（2）B（3，﹣1），直线AB的解析式为y＝﹣x+2；（3）P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．

【解析】

（1）作AD⊥y轴于D，根据正切函数，可得AD的长，得到A的坐标，根据待定系数法，可得k的值；

（2）根据题意即可求得B点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线AB的解析式；

（3）先根据S△AOB＝S△AOC+S△BOC求得△AOB的面积为4，然后设P（0，t），得出S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，由S△PBC＝2S△AOB列出关于t的方程，解得即可．

解：（1）作AD⊥y轴于D，

∵点A的坐标为（m，3），

∴OD＝3，

∵tan∠AOC＝．

∴，即，

∴AD＝1，

∴A（﹣1，3），

∵在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，

∴k＝﹣1×3＝﹣3；

（2）∵点B与点A关于y＝x成轴对称，

∴B（3，﹣1），

∵A、B在一次函数y＝ax+b的图象上，

∴，解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；

（3）连接OC，

由直线AB为y＝﹣x+2可知，C（0，2），

∵S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝×2×1+×2×3＝4，

∵P是y轴上一点，

∴设P（0，t），

∴S△PBC＝|t﹣2|×3＝|t﹣2|，

∵S△PBC＝2S△AOB，

∴|t﹣2|＝2×4，

∴t＝或t＝﹣，

∴P点的坐标为（0，）或（0，﹣）．