Question

如图，一艘货轮由港口A出发向正东方向行驶，在港口A处时，测得灯塔B在港口A的南偏东30°方向，小岛C在港口A的南偏东60°方向，当这艘货轮行驶60海里到点D处时，小岛C恰好在点D处的正南方向，此时测得灯塔B在南偏西60°的方向，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离；
（2）灯塔B与小岛C之间的距离．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：几何图形问题,转化思想

分析：（1）在Rt△ADC中，根据三角函数即可得到港口A与小岛C之间的距离，CD的长；
（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，根据题意可知，△ABD是直角三角形，根据三角函数可求AB的长；在Rt△ABE中，根据三角函数即可得到AE，BE的长，进一步得到BF，CF的长，根据勾股定理即可得到灯塔B与小岛C之间的距离．

解答：解：（1）∵∠EAC=60°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，AC=60÷Cos30°=40

3

海里，CD=

1

2

AC=20

3

海里．
故港口A与小岛C之间的距离是40

3

海里；

（2）过B点作BE∥AD，交AE于E，CD于F，
∵∠BAD=60°，
∴∠BDA=30°，
∴∠ABD=90°，
∴△ABD是直角三角形，
∴AB=30海里；
在Rt△ABE中，AE=15

3

海里，BE=15海里，
∴BF=60-15=45海里，CF=20

3

-15

3

=5

3

海里，
在Rt△BCF中，BC=

452+(5 3 )2

=10

21

海里．
即灯塔B与小岛C之间的距离是10

21

海里．

点评：考查了解直角三角形的应用-方向角问题，本题可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决．