Question

19．如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点．
（1）试求抛物线的解析式；
（2）P是直线BC上方抛物线上的一个动点，设P的横坐标为t，P到BC的距离为h，求h与t的函数关系式，并求出h的最大值．
（3）设点M是x轴上的动点，在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出所有符合条件的点N坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连结PB、PC，可先求得直线BC的解析式，则可用t分别表示出E的坐标，从而可表示出PE的长，再可用t表示出△PBC的面积，再利用等积法可用t表示出h，利用二次函数的性质可求得h的最大值；
（3）分AM、CM和AC为对角线三种情况，分别根据菱形的性质可求得N点的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=ax²+bx+c过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-b+c=0\\ 9a+3b+c=0\\ c=3\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1\\ b=2\\ c=3\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（2）过点P作PD⊥x轴于点D，交BC于点E，PH⊥BC于点H，连结PB、PC．
∵B（3，0）、C（0，3），
∴OB=OC=3，$BC=\sqrt{O{B^2}+O{C^2}}=3\sqrt{2}$，
设直线BC解析式为y=kx+n，则$\left\{\begin{array}{l}3k+n=0\\ n=3\end{array}\right.$，解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1\\ n=3\end{array}\right.$，
∴直线BC解析式为y=-x+3，
∵点P的横坐标为t，且在抛物线y=-x²+2x+3上，
∴P（t，-t²+2t+3），
又∵PD⊥x轴于点D，交BC于点E，
∴D（t，0），E（t，-t+3），
∴PE=（-t²+2t+3）-（-t+3）=-t²+3t，
∴${S_{△PBC}}={S_{△PEB}}+{S_{△PEC}}=\frac{1}{2}PE•BD+\frac{1}{2}PE•OD=\frac{1}{2}PE•（BD+OD）=\frac{1}{2}PE•OB$=$\frac{1}{2}（-{t^2}+3t）×3=-\frac{3}{2}{t^2}+\frac{9}{2}t$，
又∵${S_{△PBC}}=\frac{1}{2}BC•PH=\frac{1}{2}×3\sqrt{2}•h=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}h$，
∴$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}h=-\frac{3}{2}{t^2}+\frac{9}{2}t$，
∴h与t的函数关系式为：$h=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{t^2}+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}t$（0＜t＜3），
∵$h=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{t^2}+\frac{{3\sqrt{2}}}{2}t=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}{（t-\frac{3}{2}）^2}+\frac{9}{8}\sqrt{2}$，
∴当$t=\frac{3}{2}$时，h有最大值为$\frac{9}{8}\sqrt{2}$；
（3）存在．
若AM为菱形对角线，则AM与CN互相垂直平分，
∴N（0，-3）；
若CM为菱形对角线，则$CN=AM=AC=\sqrt{{1^2}+{3^2}}=\sqrt{10}$，
∴$N（-\sqrt{10}，3）$或$N（\sqrt{10}，3）$；
若AC为菱形对角线，则CN=AM=CM，
设M（m，0），由CM²=AM²，得m²+3²=（m+1）²，解得m=4，
∴CN=AM=CM=5，
∴N（-5，3）．
综上可知存在点N，使得以点A、C、M、N为顶点的四边形是菱形，符合条件的点N有4个：N₁（0，-3），${N_2}（-\sqrt{10}，3）$，${N_3}（\sqrt{10}，3）$，N₄（-5，3）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、勾股定理、等积法、二次函数的性质、菱形的性质、方程思想和分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用t表示出△PBC的面积是解题的关键，注意等积法的应用，在（3）中注意菱形性质的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．