Question

【题目】如图，在中，于D，且，以AB为底边作等腰直角三角形ABE，连接ED、EC，延长CE交AD于点F，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（ ）．

A.①②B.①③C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】D

【解析】

①易证∠CBE=∠DAE，用SAS即可求证：△ADE≌△BCE；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；③证明△AEF≌△BED即可；④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S△AEF=S△ACE，由△AEF≌△BED，可知S△BDE=S△ACE，所以S△BDE=S△ACE．

解：∵AD为△ABC的高线
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，

∴△ADE≌△BCE（SAS）；
故①正确；
∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，AD=BC，DE=EC，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE，△DEC是等腰直角三角形，易证△DFC是等腰直角三角形，
故③正确，
∴DF=DC，
∵BC=BD+DC=BD+DF=AD，
故②正确；
∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S△AEF=S△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S△AEF=S△BED，
∴S△BDE=S△ACE．
故④正确；
故选：D．