Question

14．如图，正方形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，延长BA至点F，使BF=AC，连接DF，∠DBA的平分线交DF于点P，连接PA、PO，如果AB=$\sqrt{2}$，那么PA²+PO²=3-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根据正方形的性质即可得出BD=AC=$\sqrt{2}$AB=2，结合BF=AC即可得出点P为DF的中点，根据正方形的性质可得出点O为BD的中点以及∠BAD=90°，由此即可得出PO为△DFB的中位线，结合BF的长度即可求出PO的长度，再根据直角三角形斜边中线等边斜边的一半结合勾股定理即可得出PA的长度，将其代入PA²+PO²中即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，BF=AC，AB=$\sqrt{2}$，
∴BF=AC=$\sqrt{2}$AB=2，BC=AD，
∴AF=BF-AB=2-$\sqrt{2}$，BF=BD．
∵BP平分∠DBA，
∴点P为DF的中点．
∵四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD相交于点O，
∴∠BAD=90°，点O为BD中点，
∴PO为△DFB的中位线，
∴PO=$\frac{1}{2}$BF=1．
∵∠DAF=180°-∠BAD=90°，点P为DF的中点，
∴PA=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$$\sqrt{A{D}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{2-\sqrt{2}}$，
∴PA²+PO²=2-$\sqrt{2}$+1=3-$\sqrt{2}$．
故答案为：3-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的中位线，解题的关键是分别求出PO和PA的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据两直角边的长度结合勾股定理求出斜边的长度是关键．