Question

【题目】如图，在ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，E是AB上一点，连接CF、EF、EC，且CF=EF，下列结论正确的个数是（　　）

①CF平分∠BCD；②∠EFC=2∠CFD；③∠ECD=90°；④CE⊥AB．

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

①只要证明DF=DC，利用平行线的性质可得∠DCF=∠DFC=∠FCB；

②延长EF和CD交于M，根据平行四边形的性质得出AB∥CD，根据平行线的性质得出∠A=∠FDM，证△EAF≌△MDF，推出EF=MF，求出CF=MF，求出∠M=∠FCD=∠CFD，根据三角形的外角性质求出即可；

③④求出∠ECD=90°，根据平行线的性质得出∠BEC=∠ECD，即可得出答案．

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD∥BC，

∵AF=DF，AD=2AB，

∴DF=DC，

∴∠DCF=∠DFC=∠FCB，

∴CF平分∠BCD，故①正确，

延长EF和CD交于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠FDM，

在△EAF和△MDF中，

∴△EAF≌△MDF（ASA），

∴EF=MF，

∵EF=CF，

∴CF=MF，

∴∠FCD=∠M，

∵由（1）知：∠DFC=∠FCD，

∴∠M=∠FCD=∠CFD，

∵∠EFC=∠M+∠FCD=2∠CFD；故②正确，

∵EF=FM=CF，

∴∠ECM=90°，

∵AB∥CD，

∴∠BEC=∠ECM=90°，

∴CE⊥AB，故③④正确，

故选：D．