Question

【题目】已知：如图，、都是等腰三角形，且，，，、相交于点，点、分别是线段、的中点．以下4个结论：①；②；③是等边三角形；④连，则平分以上四个结论中正确的是：______．（把所有正确结论的序号都填上）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE(SAS)，由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°∠DOE=180°α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．

解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
∵∠CFE=∠DFO，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180°∠DOE=180°α，故②正确；
③∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC
又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，
∴AM= AD，BN= BE，
∴AM=BN，
在△ACM和△BCN中，
∴△ACM≌△BCN(SAS)，
∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④如图，

过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，
∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH，CE=CD，
∴△CGE≌△CHD(AAS)，
∴CH=CG，
∴OC平分∠AOE，故④正确，
故答案为①②④．