已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．其中点A在x轴的

负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）求A、B、C三点的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连接CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）解方程x²-5x+4=0，求出两根，得到OA，OC的长，即可以得到A，C两点的坐标，已知抛物线的对称轴是x=1，A，B一定关于对称轴对称，因而B的坐标也可以相应求出．
（2）已知A，B，C三点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数的解析式．
（3）已知DE∥BC，则得到△AED∽△ACB，AB，AC的长度可以根据第一问求出，AD可以用m表示出来，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出EC的长（用m表示）．△DEC与△ABC的CE，AC边上的高的比，就是△AED和△ACB的相似比，因而EC边上的高也可以用m表示出来，则函数解析式就可求出．
S是否存在最大值，可以转化为求函数的最值问题．根据函数的性质就可以得到．

解答：解：（1）∵OA、OC的长是x²-5x+4=0的根，OA＜OC，
∴OA=1，OC=4，
∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴，
∴A（-1，0）C（0，-4），
∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴为x=1，
∴由对称性可得B点坐标为（3，0），
∴A、B、C三点坐标分别是：A（-1，0），B（3，0），C（0，-4）；

（2）∵点C（0，-4）在抛物线y=ax²+bx+c图象上，
∴c=-4，
将A（-1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx-4，
得

a-b-4=0

9a+3b-4=0

，
解之得

b=-

，
∴所求抛物线解析式为：y=

x2-

x-4；

（3）根据题意，BD=m，则AD=4-m，
在Rt△OBC中，BC=

OB2+OC2

=5，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

，
∴DE=

AD•BC

5(4-m)

20-5m

，
过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=

，

∴

，
∴EF=

DE=

20-5m

=4-m，
∴S_△CDE=S_△ADC-S_△ADE=

（4-m）×4-

（4-m）（4-m）
=-

m²+2m（0＜m＜4）
∵S=-

（m-2）²+2，a=-

＜0
∴当m=2时，S有最大值2．
∴点D的坐标为（1，0）．

点评：本题综合运用了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，以及求函数的最值．

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科目：初中数学 来源： 题型：

已知：抛物线y=x2-(a+b)x+

，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为

，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否

存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．