Question

不等式＞2对一切x都成立，则k的取值范围为________．

Answer 1

2＜k＜10
分析：由不等式的分母可得（x+1）²-x对于一切x恒＞0，则把原不等式去分母移项合关同类项可得：x²+（k-2）x+2k-4＞0，根据二次函数顶点的坐标性质，抛物线与x轴没有交点，即为根的判别式小于0，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
解答：∵x²+x+2=（x+1）²-x，对于一切x，（x+1）²-x＞0恒成立，
∴原不等式去分母，整理得：x²+（k-2）x+2k-4＞0，
∵当x∈R时，不等式恒成立，
∴二次函数y=x²+（k-2）x+2k-4和x轴没有交点，
∴判别式小于0，即（k-2）²-4（2k-4）＜0，
整理得：k²-12k+20＜0，即（k-10）（k-2）＜0
解得：2＜k＜10，
则k的取值范围是2＜k＜10．
故答案为：2＜k＜10
点评：本题考查了解不等式，涉及到二次函数相关知识点．当题中有两个未知字母时，应把关于某个字母的不等式中的字母当成未知数，求得解集，再根据解集进行判断，求得另一个字母的值．