Question

已知一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，C两点．
（1）求出A，C两点的坐标；
（2）在x轴上找出点B，使△ACB∽△AOC，若抛物线过A，B，C三点，求出此抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设动点P、Q分别从A，B两点同时出发，以相同速度沿AC、BA向C，A运动，连接PQ，设AP=m，是否存在m值，使以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出所有m值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在一次函数中，当x=0时，y=-12；
当y=0时，x=-16，即A（-16，0），C（0，-12）

（2）过C作CB⊥AC，交x轴于点B，显然，点B为所求．
则OC²=OA•OB，此时OB=9，可求得B（9，0）；
此时经过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=x²+x-12

（3）当PQ∥BC时，如图（1），△APQ∽△ACB；则有：
，即，
解得m=．
当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB；有：
，即，
解得m=．



分析：（1）令直线的解析式中y=0可得出A的坐标，令x=0，可得出C的坐标．
（2）要使△ACB∽△AOC，则B点必为过C点且垂直于AC的直线与x轴的交点．那么根据射影定理不难得出B点的坐标，然后用待定系数法即可求得抛物线的解析式．
（3）本题可分两种情况进行求解：①当PQ∥BC时，△APQ∽△ACB；②当PQ⊥AB时，△APQ∽△ACB．可根据各自得出的不同的对应成比例线段求出m的值．
点评：本题考查了二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识点．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．