Question

12．如图，在矩形ABCD中，∠BEG=∠BFG=90°，AB=AF．
（1）当EF=2，∠FEG=15°时，求BF的长；
（2）求证：AE=DG．

Answer 1

分析 （1）作∠BEM=∠ABE，交AB于M，则BM=EM，由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，证出∠ABE=∠FEG=15°，设AE=x，由三角形的外角性质得出∠AME=30°，由含30°角的直角三角形的性质得出BM=ME=2AE=2x，AM=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$x，得出方程2x+$\sqrt{3}$x=x+2，解方程，再求出AF，由勾股定理求出BF的长；
（2）连接BG，由等腰直角三角形的性质得出∠ABF=∠AFB=45°，求出∠1=60°，得出∠EBF=30°，证明B、E、F、G四点共圆，由圆周角定理求出∠FBG=∠FEG=15°，得出∠EBF=45°，△BEG是等腰直角三角形，得出BE=EG，由AAS证明△ABE≌△DEG，得出对应边相等即可．

解答 （1）解：作∠BEM=∠ABE，交AB于M，如图1所示：
则BM=EM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠ABE+∠AEB=90°，
∵∠BEG=90°，
∴∠FEG+∠AEB=90°，
∴∠ABE=∠FEG=15°，
∴∠BEM=15°，
设AE=x，
∵∠AME=∠ABE+∠BEM=30°，
∴BM=ME=2AE=2x，AM=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$x，
∵AB=AF，
∴2x+$\sqrt{3}$x=x+2，
解得：x=$\sqrt{3}$-1，
∴AF=$\sqrt{3}$+1，
∵∠A=90°，
∴BF=$\sqrt{2}$AF=$\sqrt{2}$（$\sqrt{3}$+1）=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
（2）证明：连接BG，如图2所示：
∵AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠1=15°+45°=60°，
∴∠EBF=90°-60°=30°，
∵∠BEG=∠BFG=90°，
∴B、E、F、G四点共圆，
∴∠FBG=∠FEG=15°，
∴∠EBF=30°+15°=45°，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴BE=EG，
在△ABE和△DEG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D}&{\;}\\{∠ABE=∠FEG}&{\;}\\{BE=EG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DEG（AAS），
∴AE=DG．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题（2）的关键．