Question

如图1，AB是⊙O的直径，直线l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足为D．
（1）求证：AC₁•AC₂=AB•AD．
（2）若将直线l向上平移（如图2），交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你猜想，AC₁、AC₂、AB、AD之间的关系，并说明理由．
（3）若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）

Answer 1

分析：（1）本题要通过构建相似三角形来求解．连接AC₁、BC₂，通过证△ABC₂∽△AC₁D可得出所求结论．（所证的两个三角形中，同弧对的圆周角相等以及一组直角）；
（2）结论同（1）也是通过证△ABC₂∽△AC₁D来得出所求结论；
（3）当直线l与圆相切时，C₁、C₂重合，因此结论变为AC²=AB•AD，可通过证三角形ABC和ACD相似，通过弦切角和一组直角来证得两三角形相似．

解答：（1）证明：连接BC₂．
∵AB为直径，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（2）解：当l向上平移后，连接BC₂．
∵AB为直径，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁•AC₂=AB•AD．

（3）解：AC²=AB•AD．
画草图．

点评：本题主要考查了圆周角定理和相似三角形的判定和性质．根据相似三角形来求线段成比例是解题的基本思路．