Question

8．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点．∠PBA=∠ACB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若OP∥BC，且OP=8，OC=4．求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠OCB，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；
（2）证△PBO和△ABC相似，得出比例式，代入求出BC，PB，证得△BOC是等边三角形，进一步求得OD，然后根据S_阴影=S_扇形+S_△POB-S_△POC即可求得．

解答 （1）证明：连接OB，
∵AC是⊙O直径，
∴∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠ACB，
∵∠PBA=∠ACB，
∴∠PBA=∠OBC，
即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，
∴OB⊥PB，
∵OB为半径，
∴PB是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=4，
∴AC=2OC=8，OB=4，
∵OP∥BC，∠OBC=∠OCB，
∴∠POB=∠OBC=∠OCB，
∵∠PBO=∠ABC=90°，
∴△PBO∽△ABC，
∴$\frac{OP}{AC}$=$\frac{OB}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴$\frac{8}{8}$=$\frac{4}{BC}$=$\frac{PB}{AB}$，
∴BC=4，PB=AB，
∴BC=OC=OB，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∵AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴PB=4$\sqrt{3}$，
作OD⊥BC于D，则OD=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$，
S_阴影=S_扇形+S_△POB-S_△POC=$\frac{60π•{4}^{2}}{360}$+$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×4-$\frac{1}{2}$×8×2$\sqrt{3}$=$\frac{8}{3}$π．

点评 本题考查了等腰三角形性质，平行线性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，切线的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力，用了方程思想．