Question

5．（1）求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值及对应自变量x的取值；
（2）求函数y=|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值及对应自变量x的取值；
（3）求函数y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|的最小值及对应自变量x的取值；
（4）求函数y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|的最小值及对应自变量x的取值．

Answer 1

分析 （1）利用数轴的特点和函数y=|x-1|+|x-3|的最小值的几何意义即可；
（2）借助（1）的结论即可得出x=2时，求出y的最小值即可；
（3）借助（1）（2）结论分n为偶数和奇数分类讨论求出即可，
（4）借助（3）的结论，类比出结论，即可求出．

解答 解：（1）函数y=|x-1|+|x-3|的最小值的几何意义是数轴上x到1和3两点距离之和的最小值，
∵两点之间线段最短，
∴当1＜x＜3时，y_min=|3-1|=2，
（2）∵y=|x-1|+|x-2|+|x-3|=（|x-1|+|x-3|）+|x-2|，
当x=2时，|x-2|有最小值，
∴结合（1）的结论得出，当x=2时，y_min=2+0=2，
（3）当n为偶数时，y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=（|x-1|+|x-n|）+（|x-2|+|x-（n-1）|）+…+（|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|），
由（1）知，当$\frac{n}{2}$＜x＜$\frac{n}{2}$+1时，
|x-1|+|x-n|有最小值n-1，
|x-2|+|x-（n-1）|有最小值（n-1）-2=n-3，
…
|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|有最小值1，
∴当$\frac{n}{2}$＜x＜$\frac{n}{2}$+1时，
y_min=1+3+5+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{{n}^{2}}{4}$，
当n为奇数时，y=|x-1|+|x-2|+…+|x-n|=（|x-1|+|x-n|）+（|x-2|+|x-（n-1）|）+…+（|x-$\frac{n-1}{2}$|+|x-（$\frac{n+1}{2}$+1）|）+|x-$\frac{n+1}{2}$|，
由（1）知，当x=$\frac{n+1}{2}$时，
|x-1|+|x-n|有最小值n-1，
|x-2|+|x-（n-1）|有最小值（n-1）-2=n-3，
…
|x-$\frac{n}{2}$|+|x-（$\frac{n}{2}$+1）|有最小值1，
|x-$\frac{n+1}{2}$|的最小值为0，
∴当x=$\frac{n+1}{2}$时，ymin=0+2+4+…+（n-3）+（n-1）=$\frac{{n}^{2}-1}{4}$，
（4）类似（3）的做法可知，y=|x-a₁|+|x-a₂|+…+|x-a_n|，
如果n为偶数时，当${a}_{\frac{n}{2}}＜x＜{a}_{\frac{n}{2}+1}$时，y有最小值，
如果n为奇数时，当x=${a}_{\frac{n+1}{2}}$时，y有最小值；
∵y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|
=$\stackrel{9个}{|x-\frac{1}{9}|+…+|x-\frac{1}{9}|}$+$\stackrel{8个}{|x-\frac{1}{8}|+…+|x-\frac{1}{8}|}$+…+$\stackrel{2个}{|x-\frac{1}{2}|+|x-\frac{1}{2}|}$+|x-1|
∴共有9+8+7+…+2+1=45项，为奇数．
∴当x=$\frac{1}{7}$时，ymin=|$\frac{1}{7}$-1|+|$\frac{2}{7}$-1|+…+|$\frac{8}{7}$-1|+|$\frac{9}{7}$-1|=$\frac{24}{7}$

点评 此题是绝对值题目，主要考查了绝对值的几何意义和两个绝对值的和的几何意义，分类讨论思想，解本题的关键是找出规律，运用规律．是一道难度比较大竞赛题．