分析 任务一:(1)按要求画出示意图即可;
(2)设矩形纸板的宽为xcm,则长为2xcm,根据题意列出方程,解之即可.
任务二:(1)AD=DE,延长EA、ED分别交直线BC于点M、N,先证明EM=EN,再证明△MAB≌△NDC,得到AM=DN即可;
(2)如图4,由(1)得;AE=DE,∠EAD=∠EDA=30°,
由已知得,AG=DF=4,连接AD,GF,
过B,C分别作BM⊥AD于M,CN⊥AD于N,过E作EP⊥AD于P,
则GF即为矩形纸板的长,MN=BC=12,AP=DP
得到∠BAM=∠CDN=60°,
求出AM=DN=3,BM=CN=3$\sqrt{3}$,
然后通过三角形相似即可得到结果.
解答 解:任务一:(1)如图1所示:
(2)设矩形纸板的宽为xcm,则长为2xcm,
由题意得:4(x-2×4)(2x-2×4)=616,解得:x1=15,x2=-3(舍去),
∴2x=2×15=30,
答:矩形纸板的长为30cm,宽为15cm;
任务二:解:(1)AE=DE,证明如下:
如图4,延长EA,ED分别交直线BC于M,N,
∵∠ABC=∠BCD=120°,
∴∠ABM=∠DCN=60°,
∵∠EAB=∠EDC=90°,
∴∠M=∠N=30°,
∴EM=EN,
在△MAB与△NDC中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠M=∠N}\\{∠ABM=∠DCN}\\{AB=DC}\end{array}\right.$,
∴△MAB≌△NDC,
∴AM=DN,
∴EM-AM=EN-DN,
∴AE=DE;
(2)如图5,过B,C分别作BP⊥AD于P,CQ⊥AD于Q,GI⊥KH于点F,
则KH即为矩形纸板的长,GI即为矩形纸板的宽,
∴PQ=BC=12,
∵∠ABC=∠BCD=120°,
∴∠BAP=∠CDQ=60°,
∵AB=CD=6,
∴AP=DQ=3,BP=CQ=FJ=3$\sqrt{3}$,
∴AF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$(3+3+12)=9,
∴$AE=6\sqrt{3}$,FE=3$\sqrt{3}$,
∵∠AED=120°,
∴∠MEN=60°,
∵ME=NE=4,
∴GE=2$\sqrt{3}$,
∴GI=GE+EJ+JI=2$\sqrt{3}$+6$\sqrt{3}$+4=8$\sqrt{3}$+4,
∵∠KAS=90°-∠PAB=30°=∠HDT,
∴AK=DH=2$\sqrt{3}$,
∴KH=3+3+12+4$\sqrt{3}$=18+4$\sqrt{3}$,
∴矩形纸板的长至少为18+4$\sqrt{3}$,矩形纸板的宽至少为4+8$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了长方体的平面图,全等三角形的判定和性质,一元二次方程的应用,相似三角形的判定和性质,正确的画出图形是解题的关键.
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A. | 0°~180° | B. | 0~90° | C. | 0°~60° | D. | 30°~180° |
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