Question

已知关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0，当k=

 

时，一元二次方程的一个根大于2，一个根小于2．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：设方程的两个根分别是m，n，根据题意，得（m-2）（n-2）＜0，根据一元二次方程根与系数的关系即可求得k的取值范围，再进一步根据k是整数进行求解．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²-（k+1）x+

1

4

k²+1=0有2个不相等的实数根，
∴△=[-（k+1）]²-4（

1

4

k²+1）＞0，
整理，得
2k-3＞0，
解得k＞

3

2

．
设方程的两个根分别是m，n，则m+n=k+1，mn=

1

4

k²+1．
根据题意，得（m-2）（n-2）＜0，即mn-2（m+n）+4＜0，
所以

1

4

k²+1-2（k+1）+4＜0，
整理，得
（k-2）（k-6）＜0，
则2＜k＜6．
所以

3

2

＜k＜6．
故答案是：

3

2

＜k＜6．

点评：此题主要是一元二次方程根与系数的关系的运用，在已知方程的一根m比常数a大，一根n比常数a小的时候，可列（m-a）（n-a）＜0的不等式分析求解．