Question

4．阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠D=60°，AB=4$\sqrt{3}$，BC=$\sqrt{3}$，求AD的长．小红发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请回答：AD的长为6．
（2）参考小红思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，tanA=$\frac{1}{2}$，∠B=∠C=135°，AB=9，CD=3，求BC和AD的长．

Answer 1

分析 （1）延长AB与DC相交于点E，解直角三角形BEC，得出BE的长，那么AE=AB+BE，再解直角三角形ADE，即可求出AD；
（2）延长AB与DC相交于点E．由∠ABC=∠BCD=135°，得出∠EBC=∠ECB=45°，那么BE=CE，∠E=90°．设BE=CE=x，则BC=$\sqrt{2}$x，AE=9+x，DE=3+x．在Rt△ADE中，由tanA=$\frac{1}{2}$，得出$\frac{3+x}{9+x}$=$\frac{1}{2}$，求出x=3，那么BC=3$\sqrt{2}$，AE=12，DE=6，再利用勾股定理即可求出AD．

解答 解：（1）延长AB与DC相交于点E，
在△ADE中，∵∠A=90°，∠D=60°，
∴∠E=30°．
在Rt△BEC中，∵∠BCE=90°，∠E=30°，BC=$\sqrt{3}$，
∴BE=2BC=2$\sqrt{3}$，
∴AE=AB+BE=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$．
在Rt△ADE中，∵∠A=90°，∠E=30°，AE=6$\sqrt{3}$，
∴AD=AE•tan∠E=6$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=6．
故答案为6；

（2）如图，延长AB与DC相交于点E．
∵∠ABC=∠BCD=135°，
∴∠EBC=∠ECB=45°，
∴BE=CE，∠E=90°．
设BE=CE=x，则BC=$\sqrt{2}$x，AE=9+x，DE=3+x．
在Rt△ADE中，∠E=90°，
∵tanA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，即$\frac{3+x}{9+x}$=$\frac{1}{2}$，
∴x=3．    
经检验x=3是所列方程的解，且符合题意，
∴BC=3$\sqrt{2}$，AE=12，DE=6，
∴AD=$\sqrt{A{E}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{1{2}^{2}+{6}^{2}}$=6$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．