Question

4．在△ABC中，AB=AC，将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，若∠BAC=40°，则∠ABD=10°；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）条件下，连结DE，若∠DEC=45°，设∠BAC=α（0°＜α＜60°），求α的值．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的性质求出∠ABC，根据∠ABD=∠ABC-∠DBC计算即可．
（2）于△ABD≌△ACD（SSS），推出∠ADB═∠ADC=150°，再证明△ABD≌△EBC（AAS），推出AB=BE即可解决问题．
（3）只要证明△DEC是等腰直角三角形，即可推出BC=CE，∠CBE=∠CEB=15°

解答 解：（1）如图1中，∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=70°，
∵∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=70°-60°=10°．
故答案为10°．

（2）结论：△ABE是等边三角形，
理由：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，
则BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=∠EBC，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AD=AD}\\{BD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠ADB═∠ADC=150°，
∵∠BCE=150°，
∴∠ADB=∠BCE，
在△ABD和△EBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠EBC}\\{BD=BC}\\{∠ADB=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE，∵∠ABE=60°，
∴△ABE是等边三角形．

（3）如图2中，由（2）可知，∠BCD=60°，
∵∠BCE=150°，
∴∠DCE=90°，
∵∠DEC=45°，
∴∠CDE=∠DEC=45°，
∴CD=CE=CB，
∴∠CBE=∠CEB=15°，
∵∠BAD=∠DAC=∠BEC，
∴∠BAD=∠DAC=15°，
∴∠BAC=30°．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．