Question

【题目】平面直角坐标系内一点M（x,y）（x≠0），若则称k为点M的“倾斜比”，如图，⊙B与y轴相切于点A，点B的坐标为(3,5),点P为⊙B上的动点，则点P的“倾斜比”k的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

作PH⊥x轴于H，如图，设P（x，y），利用性对于得到点P的“倾斜比”k=tan∠POH，则点OP与⊙B相切于P点时，∠POH最小，点P的“倾斜比”k有最小值，连接BP、BA，作BD⊥x轴于D，交OP于C，如图，根据切线的性质得到BA⊥y轴，BP⊥OP，BA=BP=3，证明△OCD≌△BCP得到BC=OC，设CD=t，则BC=OC=5-t，利用勾股定理得到22+t2=（5-t）2，解方程求出t得到tan∠POH=，从而得到点P的“倾斜比”k的最小值．

解：作PH⊥x轴于H，如图，

设P（x，y），
∵点P的“倾斜比” =tan∠POH，

∴当点P的“倾斜比”k取最小值时，∠POH最小，
∴点OP与⊙B相切于P点时，∠POH最小，点P的“倾斜比”k有最小值，
连接BP、BA，作BD⊥x轴于D，交OP于C，如图，
∵⊙B与y轴相切于点A，OP切⊙B于P，点B的坐标为（3，5），
∴BA⊥y轴，BP⊥OP，BA=BP=3，
∴OD=3，
在△OCD和△BCP中

∴△OCD≌△BCP（AAS），
∴BC=OC，
设CD=t，则BC=OC=5-t，
在Rt△OCD中，22+t2=（5-t）2，解得t= ，
即CD=，
∴tan∠POH= ，
即点P的“倾斜比”k的最小值是．
故选：D．