Question

6．如图①，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC所对应的函数表达式．
（2）设点M（3，m），直接写出使得MN+MD的值最小时m的值．
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B、E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B、D、E、F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标，若不能，请说明理由．
（4）点P是图①中直线AC上方抛物线上的一个动点（不与A、C重合），过点P与x轴垂直的直线交AC于点Q，如图②，若线段PQ将△PAC分成两部分的面积比为1：3，直接写出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将点A、C的坐标代入抛物线解析式可得出b、c的值，继而得出抛物线解析式，利用待定系数法可求出AC的函数解析式；
（2）利用轴对称求最短路径的知识，找到N点关于直线x=3的对称点N′，连接N'D，N'D与直线x=3的交点即是点M的位置，继而求出m的值．
（3）设出点E的坐标，分情况讨论，①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，根据平行四边形的性质表示出F的坐标，将点F的坐标代入抛物线解析式可得出x的值，继而求出点E的坐标．
（4）根据面积的比，可得（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=1：3，根据比例的性质，可得答案．

解答 解：（1）由抛物线y=-x²+bx+c过点A（-1，0）及C（2，3），可得：$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-4+2b+c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线为y=-x²+2x+3，
设直线AC解析式为y=kx+n，将点A（-1，0）、C（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+n=0}\\{2k+n=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
故直线AC为y=x+1．

（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，则N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直线DN′的函数关系式为y=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{21}{5}$，
当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，
则m=-$\frac{1}{5}$×3+$\frac{21}{5}$=$\frac{18}{5}$．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
点E在直线AC上，设E（x，x+1），
①当点E在线段AC上时，点F在点E上方，则F（x，x+3），
∵F在抛物线上，
∴x+3=-x²+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
则点E的坐标为：（0，1）．
②当点E在线段AC（或CA）延长线上时，点F在点E下方，则F（x，x-1），
∵点F在抛物线上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$或x=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，
即点E的坐标为：（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）
综上可得满足条件的点E为E（0，1）或（$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$）；
（4）S_△APQ=$\frac{1}{2}$AP•（x_P-x_A），S_△CPQ=$\frac{1}{2}$AP（x_C-x_P），
S_△APQ：S_△CPQ=1：3，即（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=1：3，解得x=-$\frac{1}{4}$，y=-x²+2x+3=$\frac{39}{16}$，即P（-$\frac{1}{4}$，$\frac{39}{16}$）；
S_△APQ：S_△CPQ=3：1，即（x_P-x_A）：（x_C-x_P）=3：1，解得x=$\frac{5}{4}$，y=-x²+2x+3=$\frac{63}{16}$，即P（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$），
综上所述：若线段PQ将△PAC分成两部分的面积比为1：3，点P的坐标是（-$\frac{1}{4}$，$\frac{39}{16}$）（$\frac{5}{4}$，$\frac{63}{16}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式、轴对称求最短路径及平行四边形的性质，同学们注意培养自己解答综合题的能力，将所学知识融会贯通．